2.2 基于U斷前的表面張力系數(shù)修正

實驗發(fā)現(xiàn)，采用斷裂點計算的表面張力系數(shù)α2，隨著吊環(huán)周長的減小而不斷減小。對于126.1 mm周長的吊環(huán)，得到α2=76.7×10-3 N/m，對于57.4 mm周長的吊環(huán)，α2=53.3×10-3 N/m，表面張力系數(shù)減小了約1/3。表面張力系數(shù)的測量值是否與吊環(huán)尺寸有關(guān)？筆者因此對實驗測量進行更為系統(tǒng)的研究。

經(jīng)過對比標(biāo)準(zhǔn)環(huán)（d?=34.03 mm）與自制環(huán)（d?=40.1 mm）拉出的水膜在斷裂處的圓周直徑相較于吊環(huán)直徑明顯變小。經(jīng)過測量，標(biāo)準(zhǔn)環(huán)對應(yīng)的水膜斷裂處直徑為33.1 mm。同樣對于自制環(huán)水膜斷裂處的直徑也都減小。如表2所示，對于直徑為33.4 mm和18.1 mm的吊環(huán)，水膜最細處直徑是對應(yīng)吊環(huán)直徑的93%和79%。可以看出，隨著自制環(huán)直徑的減小，水膜斷裂時的直徑減小程度逐漸增大。

表２ 環(huán)直徑與水膜斷裂處直徑的比較以及修正后的表面張力系數(shù)

圖5給出了水膜直徑變小示意圖。吊環(huán)拉出的水膜，其內(nèi)表面、外表面都是雙曲面，但不對稱。一般而言，外表面的曲率半徑較小，而內(nèi)表面的曲率半徑較大，2個曲面頂點處的位置（圖5中M和N所示）將偏離吊環(huán)內(nèi)、外徑的平均值d?=(d1+d2)/2，如圖5中的豎直虛線所示。所以水膜斷裂處的直徑d斷，將小于吊環(huán)的d?，即d斷 < d?。由表2數(shù)據(jù)可以看出，隨著吊環(huán)直徑的減小，對應(yīng)水膜的內(nèi)、外曲面的不對稱程度增加，斷裂處水膜直徑的收縮程度（"頸縮"）增大，所以2個直徑的比值d斷/d?變小。

根據(jù)上述分析，水膜在斷裂處的直徑明顯小于吊環(huán)直徑，所以將斷裂處水膜的直徑d斷代入式(5)才合理，修正后的表面張力系數(shù)α2′將大于修正前的α2。如標(biāo)準(zhǔn)環(huán)，表面張力系數(shù)由α2=72.0×10-3 N/m增加到α2′=73.9×10-3 N/m。對于標(biāo)準(zhǔn)環(huán)，斷裂點水膜直徑收縮很小，即d斷/d?=0.97，所以其α2及α2′誤差變化都很小。但對于自制吊環(huán)，修正后的α2′誤差有的變大，有的減小。可見，僅僅考慮斷裂處水膜直徑的變小修正α是不全面的，誤差還有其他來源。

因為水膜斷裂的瞬間很難確定，圖1(d)表示水膜斷裂瞬間的形狀，此時的拉力由圖3中的U斷前表示。但在實際操作中，兩者不能對應(yīng)。水膜斷裂是電壓陡降的過程，非常迅速，電壓表無法顯示。所以實際記錄的U斷前對應(yīng)圖1(c)的水膜形狀，此時拉力F明顯大于U斷前。因此，由式(5)可知，采用水膜斷裂"瞬間值"計算的表面張力系數(shù)比實際斷裂點（理論值）大。對于105.5 mm的吊環(huán)，其α2′=77.5×10-3 N/m，比理論值大6.6%。

另一方面，對于尺寸較小的吊環(huán)，如圖6所示，水膜的內(nèi)表面將連接在一起，只有外表面的表面張力起作用，但在計算公式中，仍以2πd?代入式(5)中，所以表面張力系數(shù)的計算值偏小。標(biāo)準(zhǔn)環(huán)的尺寸適中，環(huán)壁很薄，所以圖1(c)與圖1(d)水膜形狀近似相同，實際測量的F等于U斷前，因此計算得到的α2誤差很小。可見，選用水膜斷裂點計算的表面張力系數(shù)的影響因素很多，實際斷裂點的瞬間位置、吊環(huán)尺寸、吊環(huán)厚薄等都是需要考慮的因素。

2.3 基于Umax表面張力系數(shù)的修正

表３ 考慮水膜重力用最大電壓處修正后的表面張力系數(shù)

相比較水膜斷裂點，在電壓最大值處，考慮水膜重力情況下，進行表面張力系數(shù)的計算，其誤差要小很多。表3為最大電壓處[圖1(b)]計算得到的水膜重力和修正后的表面張力系數(shù)。根據(jù)上面理論分析和實驗驗證，得知采用電壓最大值計算的表面張力系數(shù)比理論值大(m膜 - m1′)g。水膜的高度由圖4給出，從而可以計算出每個吊環(huán)下面拉出的水膜重力。斷裂后殘留水膜的質(zhì)量(m1′)直接用天平稱量。如標(biāo)準(zhǔn)環(huán)，h為3.0 mm，d?=34.03 mm，水膜厚度（環(huán)壁厚度）約為1.0 mm，則水膜質(zhì)量為m膜=0.32 g；而殘留水膜質(zhì)量為m1′=0.02 g，所以換算成力敏傳感器的電壓值為ΔU膜=(m膜 - m1′)gK=0.016 V。對于標(biāo)準(zhǔn)環(huán)，拉出的水膜占比為ΔU膜/(Umax - U斷后)=0.0158，最后得到α1′=α1·(1-0.0158)=73.5×10-3 N/m，其相對偏差僅為0.6%。也可采用

α = (Umax - ΔU膜 - U斷后) / (2Kπd?) (6)

計算，由表3可以看出，除了最小吊環(huán)，相對誤差仍為-4.5%外，其他自制吊環(huán)測量的表面張力系數(shù)的相對誤差都小于4.0%。

采用隔離法，對電壓最大值處的水膜進行受力分析。圖7中虛線將水膜分成2部分，吊環(huán)正下方的水膜由于水分子相互吸引力附加在拉力Fmax中，而另一部分水膜的重力m′g，與2fA以及水膜與液面處的表面張力2fCcosβ，三者形成平衡狀態(tài)，即受力分析與水膜斷裂時[圖1(d)]m2的受力相似。所以計算水膜的重力僅僅需要考慮吊環(huán)正下方的重力即可。另外，電壓最大值處的水膜穩(wěn)定性最好，拉升高度h容易測量。對于尺寸較小的吊環(huán)（πd?=78.2 mm），電壓最大值處，水膜的內(nèi)表面沒有連接在一起，仍然與液體表面接觸良好，所以測量的誤差也較小（Eα1=3.9%）。但是對于特別小的吊環(huán)（πd?=57.4 mm），水膜的內(nèi)表面連接在一起，其表面張力系數(shù)明顯偏小。

3 結(jié)束語

本文討論了表面張力系數(shù)測定中的液膜斷裂點問題。通過完整的液膜拉升過程的受力分析和實驗驗證，找到誤差來源。對電壓最大值點，必須考慮液膜自身重力，由此得到的表面張力系數(shù)修正值與理論值的誤差較小。對于液膜斷裂的瞬間值，則必須考慮液膜斷裂處的直徑收縮，從而對表面張力系數(shù)也要進行修正。雖然此時液膜受力的物理圖像清晰，但是由于實際操作中，斷裂點的電壓讀數(shù)非常困難，所得結(jié)果誤差較大。